Как правильно: «Я живу или я проживаю»?

Правильными будут оба варианта.

Только употребляются они в разных контекстах.

Например, правильно будет сказать: "Я живу в Москве".

Но в то же время: "Я проживаю каждую минуту своей жизни, как последнюю."

Действительно, глаголы "жить" и "проживать" -- однокоренные и имеют практически одно и то же лексическое значение. Так какой глагол все-таки лучше употреблять просто в речи, не в документах, а именно в живой речи?

Одно из значений глагола "проживать" -- это "жить и быть прописанным где-нибудь, в каком-то определённом месте".

Поэтому обычно выдаются справки, в которых пишется, например: "Справка, удостоверяющая, что гражданка Кузнецова С.П. проживает в доме № 19 по улице Менделеева".

Это образец делового, канцелярского стиля, поэтому слово "проживать" так и выглядит, как канцелярско-деловое.

Не рекомендуется его употреблять в литературной и бытовой речи вместо глагола "жить".

Не следует говорить: "Мои родители проживают в Новокузнецке" и "Моя дочь проживает в новом доме".

Лучше сказать просто: "Мои родители живут там-то, а дочь живет в новом доме".

Оба глагола используются в русском языке относительно жизни человека в целом, вот только если человек говорит что он где то живет, то он не пытается внести ни какую конкретику, например говоря: "я живу в квартире" или "я живу в городе". Причем даже если он назовет город, то это говорит о том, что он не вносит конкретику, так как его не спрашивают в каком именно городе он живет.

Ну а вот глагол "проживаю" это всегда в том или ином роде конкретика и подчеркивания того, что человек например живет в квартире, а ее в доме или например по какому то адресу или именно в городе Самара, а не в Москве или Томске.

Эти два глагола живу и проживаю являются однокоренными, только вот первый глагол в основном показывает место жительства Я живу в Израиле, Я живу в бочке (так бы сказал философ Диоген, указывая точное место своего проживания,А вот проживаю - глагол длительного действия Я проживаю и переживаю, я звживаю и выживаю. Я проживаю свою жизнь с любовью, считая каждую минуту радости и счастья...

В определении слова "проживать" указано, что это подразумевает существование с тратой некоторых ресурсов (времени, денег и так далее). Или же речь о слове, синонимом которого будет слово "переживаю".

В остальных случаях используется слова "жить".

Например:

Я живу в городе.

Я проживаю здесь уже пять лет.

Я вновь проживаю эти мгновения.